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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Ocu|v  
R3mMQ-.  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. MqRkG6)  
bY2 ;?/;  
　　1、三角函数本质： 0K%&/v4d  
.wy-Q  
　　三角函数的本质来源于定义 VpUh|v=AK  
.B&%*= qkP  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 !m n`E0,  
-|P>t~  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 :+AYE* ICI  
xna*$.})  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： yt,@>xt9D  
.{\KS+>:H  
　　推导： /_<rE;Mk  
T=`p)^)7%b  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ^?p OYE)  
f^:{>O02  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) fE58NP]z@3  
|P!c1AQ  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 0!~/^2sI  
mJ1F#[*e-  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ]H-w$E@u.  
E Z$/cNzw  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 6l:9oS!hP  
r;aj?g`8  
　　[1] .V|5/M  
Fb]G$k{t  
　　两角和公式 &x2;m?r h  
S;"lz|Z  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB +LTM91r!U  
(d0Gb?U5  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  v+~'<?O|  
RIh@U6  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB of  p  
yQOr-53`  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB $Z& t,)   
syaZ!{  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) @?&Zy^:$  
$d hc]6Ys  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) Tj!<&Gg  
\AyyH v  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  E|kx!8aJ  
ZDlxk  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) aX-/%ro  
~P[z)=bE  
倍角公式 zFxw{MW  
e|r1U-U`  
　　Sin2A=2SinA•CosA 7(nPh!z]  
$sz%sQz)?n  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 Uv@]o'zt  
&5`+SUU  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） sif@ =O"  
3h5nzZf  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ?d/s6B a}p  
@*K[Q@ "D  
三倍角公式 SG[Y2d4  
i ;]%]  
　　 {]\eiat  
/NIhn x2!  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) |15rkW(  
P^d3]"a  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Wn}@jorE  
,e*v%  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Bo, .5i  
2Z5$TA1  
三倍角公式推导 V_"93H  
vATGvPsnc  
　　sin3a e@|l j:  
Ut(gd-}  
　　=sin(2a+a) 2 ]N/ 5M  
kh^,DfLg  
　　=sin2acosa+cos2asina ;!Yn1:<]q  
?>s&/}=5J  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina 5/]. 2q(  
=#AG)#]B  
　　=3sina-4sin³a c kq}!',  
mH}xp&U(  
　　cos3a ;1_4N  
Db*}3Ti(_  
　　=cos(2a+a) v\Mx i_  
`8+Q9iV`  
　　=cos2acosa-sin2asina .\e4my3u*  
9D1*i(K4,  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa :&]@+J."  
9S~t,_b  
　　=4cos³a-3cosa ,:zsly"  
X;*X<2/  
　　sin3a=3sina-4sin³a w8 ,xc TwM  
e4IyYw'_  
　　=4sina(3/4-sin²a) :{Qo(L;  
tL+@|LW&R  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ).X+H'B-Y  
b2m*H3NR  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 1]EX|tg6G  
\Gaq`P=  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) G {%` @}  
HF'dMRM  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ?BET7;`dY  
6-K@uFwH  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) 0haeex'.  
+MZinvh[  
　　cos3a=4cos³a-3cosa #A>x)/us  
H(~F2bmI  
　　=4cosa(cos²a-3/4) `AE/47 -  
ar9+r[v  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] QJ{?WY7,  
j "YR`  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 9,qc}[  
r7*w@  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) `clu,fHP-  
#QI"-Q5Ce  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} !GsV}%`GU  
xR((sa+>'8  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) Qf_oNb  
+dE\wn Y  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]  Rl4=$:=B  
B/]N4l f|  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ,3xSbf7  
9!u&/0  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 9m+h?7j'd  
3CPFs:,  
　　上述两式相比可得 0V5;DI&x  
5 +g/  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) s1#.:&`  
TCvN 8  
半角公式 /27fYt  
8qX</M)!j  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); HP8!WQxES  
P:B`>%O  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. FyM ],W?  
#- kTm|w  
和差化积 ;nGkee  
5&WVH2#  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] +rAnC",  
kU(qnW  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] =/9`ykn:  
v=Relu7  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] wM1$/a"N  
Tg$yM-:O  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] &([T!Z1U'  
aGd?ft !  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) -7Q!WY=  
L"M(  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 5O7GK6?C  
!sd-[Gm_  
积化和差 (z'Y .Q  
{H$C }Zg  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] .[}3 h}DP  
\  Ix}xs`  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] jzibY:lj  
tN2aI>  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] u[V'E< "^  
;e9_N*{i  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] l8Ctv~<  
UQw*7nKF  
诱导公式 aS EAt%?  
F%J_wRi;L  
　　sin(-α) = -sinα  iUO>8m  
 *wR 4  
　　cos(-α) = cosα UM(^$fS-z  
8s+"l  
　　sin(π/2-α) = cosα  ;JJL  
8p.GyPsNT  
　　cos(π/2-α) = sinα j%dHve  
|!^T(]-  
　　sin(π/2+α) = cosα M.MxYAI  
:G@7]SJ~G  
　　cos(π/2+α) = -sinα IwWyH` O4  
"TIh*A`Pg%  
　　sin(π-α) = sinα  e!Lvd_9m  
ZM^=HdN  
　　cos(π-α) = -cosα u<>E]z8j  
K/KU3/|  
　　sin(π+α) = -sinα V11 ~5  
30qf nEJ  
　　cos(π+α) = -cosα Ob(*<a`K  
WA=AeEK  
　　tanA= sinA/cosA *dT5`v_  
=Ru;o%po:  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα -=)!>]M[  
ay! jyt  
　　tan（π/2－α）＝cotα _4R0(3|  
c+Pt]W)n6  
　　tan（π－α）＝－tanα tsje&Y1H  
#t?)y&+V  
　　tan（π＋α）＝tanα !JEC&zSp3  
yx4Y]`  
万能公式 wD1Q /=.  
O.0o5<g?  
　　 |6wy.jXh  
>X2J]i  
其它公式 5{3e"!lz  
3=aKMr6I  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Y5-l/`+p  
i}z:UikH  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 wF_kf-ngQ  
myR$2WH  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 !](PR9A?7D  
q%]jygk3  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 T++?)GZ  
T#_l|W<a  
　　对于任意非直角三角形,总有 ay=z!$]2  
k~wsv"?/{  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC wB6DcY \T  
yK9a<M  
　　证: =46 iAQlX  
|w 0mM=  
　　A+B=π-C ;WuTFs+e,  
0Cn;]2Fz0  
　　tan(A+B)=tan(π-C) zl[pkkg6  
/ B!JRl  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) iJ[]q$A#=  
%p)^ [d*  
　　整理可得 8z5cv  
L:3GkP  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC -b$ eQ("D  
bmvC  
　　得证 A{BK\(  
h>?~MXPe  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 @EIvFbI}  
>K= `0  
其他非重点三角函数 .^$n V~  
X~]Hfe=us  
　　csc(a) = 1/sin(a) U43kv,N_  
UT9,)%{|13  
　　sec(a) = 1/cos(a) =Yw@ -vw  
%|TPk]z  
　　 {c%J#by  
vS]q;snn  
双曲函数 Y\gMaQA  
n5vR Y  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 BbKy k  
->sEe3 P  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 '4P[WgcDG2  
N 813SPWb  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) oJp% ve[4  
<m9}(!  
　　公式一： ygBmO}9R 7  
_eo Z_eo   
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Z4Nd*R7[  
<uDxhM8  
　　sin（2kπ＋α）= sinα )p< X^m  
h? mom_NI  
　　cos（2kπ＋α）= cosα X6K{c:?p  
WxcX\1  
　　tan（kπ＋α）= tanα > T '~Lc  
DB*C WoB)  
　　cot（kπ＋α）= cotα c}VpfIb  
Me.Hs\K2  
　　公式二： WE/fjui  
HO2r>) @  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ;to!1&No  
VZ`&L  
　　sin（π＋α）= -sinα =) <=IfT^  
9)pUa.uWn  
　　cos（π＋α）= -cosα |hl3rOL'0  
0gSPZ  
　　tan（π＋α）= tanα +- "HJ-fu  
@k.zgi~  
　　cot（π＋α）= cotα |JD7\C\<  
NaDb?U6  
　　公式三： X6Xo[yf4  
Zamr7Iws  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： A}uvUZe  
 [ j  
　　sin（-α）= -sinα M$@>P9<  
EFgMN/*bG  
　　cos（-α）= cosα {'ZM(,  
S`qYA_  
　　tan（-α）= -tanα r]z5y3g  
`$T-y|q  
　　cot（-α）= -cotα w\/f knD  
+k20HN  
　　公式四： r2r!BO  
?A(9)w\A  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： }75TLjTX  
B:HD(AkCU  
　　sin（π-α）= sinα PMm3<k  
^k{ VMY  
　　cos（π-α）= -cosα ,UD:[k{Qe  
Aefw+X!)U  
　　tan（π-α）= -tanα 1kbYAne7h  
-5D,Eokj`  
　　cot（π-α）= -cotα N><t<9Sc  
P8Rh" (!ea  
　　公式五： [D-ptc  
bH;_:`M  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： \g'`k a  
Ky|EHQi  
　　sin（2π-α）= -sinα S)MK^J,y"v  
yXPlU">(  
　　cos（2π-α）= cosα Li?cfRJj  
e)?Rm&pVH  
　　tan（2π-α）= -tanα {X)cOnS^ C  
b8CsK=Xj:  
　　cot（2π-α）= -cotα W!32Fz L  
IXKL~I)m&  
　　公式六： kU~No%$.uZ  
RS8ybL?L  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： +nxZ7*G  
ZTOp! X4  
　　sin（π/2+α）= cosα c^:TGUCQ  
VO~? ]  
　　cos（π/2+α）= -sinα 7cFuV Se  
GIxRDQQ^+>  
　　tan（π/2+α）= -cotα v@Q IwO  
;H5_YHSx@  
　　cot（π/2+α）= -tanα )DOjyaaM  
J]X\zJ[w  
　　sin（π/2-α）= cosα R TpqF87  
Tv;l%@  
　　cos（π/2-α）= sinα 6=[ |a~(  
-*uWr* v  
　　tan（π/2-α）= cotα r &k/UOZ  
<cr^Q1  
　　cot（π/2-α）= tanα 0j U%S|W  
fetY9Xl  
　　sin（3π/2+α）= -cosα `x4khO  
@q'\!p  
　　cos（3π/2+α）= sinα f6VG[b.  
-dSMh{/E[  
　　tan（3π/2+α）= -cotα BnFtcVH7  
hPli}@*]  
　　cot（3π/2+α）= -tanα keqcl?N  
1Oo,fLz  
　　sin（3π/2-α）= -cosα CJ(X_=  
..LEg g  
　　cos（3π/2-α）= -sinα B x@c2Em  
 $iq9n0  
　　tan（3π/2-α）= cotα .j=Yror.  
} S6\  
　　cot（3π/2-α）= tanα } yf_}  
cFDF`IrX  
　　(以上k∈Z) m.-?4Vx  
 ^o.2%o  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ^c&d4`kO  
eCJroeRL  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = RYvWCls!  
_JADf"^b  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } IM"^ "<2  
i.yBP>6*  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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