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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 0SZ<  
SXZaBsg4  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. *w P m.X!  
TY_M$Z@PB  
　　1、三角函数本质： QnPM(A|  
0 tkRryjV+  
　　三角函数的本质来源于定义 &nHK?!  
o'K!j*|RE  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Pd/s&CV  
$Y~<X 5[  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 |x%_<cfi  
6u,^-tX`^Q  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ,HZ*]{ t"  
7\F~)|=  
　　推导： >9tzOYk}  
RWe}?6sOCR  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Y-54'n  
.wDW<LM  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) h11#~.p  
^QK43Vp  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 'ijy%1T|0  
O2'y=mJ  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 gcaJeh\R2  
cs$n[/}  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ^U@QgyY  
)4s~MXwm2y  
　　[1] !:}a `/M  
Zkb?i Bx  
　　两角和公式 ,a2voH ta  
*3v    
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB PDs0!_x~:  
WJzESbFa`  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  d@T. x  
!*j/oq}fQ  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB I^O3 `$b  
KxKa=#|j  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB R({p#ti[Z  
"cSVY+-t  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) N9fc^ R  
v<vk!G3Q  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) k?BZgk  
uSKU`GM3[  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  I=2Ph  
hyxZP@ F"  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) PB:l9LWrbJ  
N^r$*d  
倍角公式 x.6a8 *OW  
VRo_`'f  
　　Sin2A=2SinA•CosA nox`L[+H  
zv'm &j  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 kjALn /3  
V@L+GWV%  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 6>? !t  
vyO4ptd  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） VMgkI#  
/N;+L.9#  
三倍角公式 &XE1IIw  
Sc?/n0=  
　　 0zBBW.B  
ABa#yr5(  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) O(1v>63Ak7  
"tL/@n$R  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) l%G#K #Rf  
^-=nCp 8)~  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ilJ) Y-  
dHuU- 7X{  
三倍角公式推导 Fm4#4*  
a$O4|vFH8m  
　　sin3a P#|cLVM  
6peN:[  
　　=sin(2a+a) {QBcpy|  
pO6R*JH )  
　　=sin2acosa+cos2asina `M |j)Z=)9  
t Mo]T 3  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina m?f3\F T  
#mN$)1  
　　=3sina-4sin³a 7 g)Z  
~w2.:y2  
　　cos3a 9;6:Lkp  
<Wr)g$o  
　　=cos(2a+a) o20cl"=  
s$%onQ  
　　=cos2acosa-sin2asina LWU!_Iq;  
UEzKpbSj*  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa  =xVKnj  
r1h-MHC-  
　　=4cos³a-3cosa <P>;&h  
)4 |#jwr  
　　sin3a=3sina-4sin³a `Q_0"b10H  
$$JPfusk,!  
　　=4sina(3/4-sin²a) di\m\S  
3x $&  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] .X`HQ CC  
XyhwTd  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Lhg^j  
.Pd u8No  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) GQirKM_Y  
!#4QzE  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] `Us*QV  
h :_hwyd  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) <kkivc.9v1  
"D[m<  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ==Be`>`n7  
$* \ mHE  
　　=4cosa(cos²a-3/4) e@j%-?LB  
9+`B]P|E  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] R>9%;v2)G  
m33, JMZM  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) v:d#*^cP C  
HjM,!EOu  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 7tkn0/E  
s4@V K=  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} +X%`Z  
AjbEMr\  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) .UHDl  
( ~tV(Ma  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] "6B>Ux  
3<0K=W>]  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] EWCE_cA  
jDZPKG$WI  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) zWzX&QrQ3`  
v[vUu5).  
　　上述两式相比可得 :.^[ns&a  
V:)d 7Hl  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) D"f7%7I  
P,#mv"  
半角公式 DG G|hU Z  
R!pKjmA  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); gZ(_kPY  
gae2Y  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ]o==#  
\MuekG  
和差化积 z P~:=^*  
kJ4x*~PXI  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 5^A n+,QR  
?6wI[:@G  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] uo^(=._ 4  
[hFI *D9;  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] OuJ)@%]  
ebIUNG  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] pl@P&v.  
/sO4mJ'sp  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) O_jnt  
 I F-C2  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) g9%DoR&A  
m{K*k!`0  
积化和差 } q-C{ (  
~Y5^4Loh,j  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] (S;II]|/  
W97,kd0]  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ''6k{m#Mi  
+yb/ I3  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] jT9|[v =P"  
!#AcJ sM  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] pMYVR}*xR  
m iIW7t'X  
诱导公式 "~C:LO Y  
x, ?f-  
　　sin(-α) = -sinα vEN"T*B?d@  
i/dk9  
　　cos(-α) = cosα %luL @E~  
rJa<=Gjr<  
　　sin(π/2-α) = cosα JO\;.X}OyL  
pEkBsk/6  
　　cos(π/2-α) = sinα r6=?}TE  
gy9Iwj=S  
　　sin(π/2+α) = cosα =ws ldY  
OzX1cad*e  
　　cos(π/2+α) = -sinα ?TB`$Ozf  
L%+t%AzW  
　　sin(π-α) = sinα A,Viv"yf  
Pd2 7&!mQ  
　　cos(π-α) = -cosα lA@-g?zimL  
\_$zu1$KH  
　　sin(π+α) = -sinα s?/~CdEM  
+"&}BB pKm  
　　cos(π+α) = -cosα YXJw[|m  
:lidfX~0  
　　tanA= sinA/cosA ~$Ve(oV  
E~G&   
　　tan（π/2＋α）＝－cotα z{RQ~MW  
Ce '(&  
　　tan（π/2－α）＝cotα \tM(OF6  
9=B3dq#g  
　　tan（π－α）＝－tanα VD& tX]  
#.QOF(80'T  
　　tan（π＋α）＝tanα / Q5w ir9  
opiZIhY  
万能公式 )!d0=`*3  
JbY%AN.4  
　　 y_RG0{d3x  
pS-nB$J0u_  
其它公式 {bTZ{NZ7G!  
]z;8(.F3@  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 iLzLk:oRd  
is|:1,NqG  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 d\K#r}jzft  
U \8Qnaen  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ZROw'f  
e3\eWc}T]  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 FFqieM[%  
\TJim*  
　　对于任意非直角三角形,总有 He'ZUzkA  
9zI"dIL  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC xTVB?#iR1  
IkQIji-  
　　证: ] p2M57aT  
R4-s A!K  
　　A+B=π-C {-rp;~5  
ko8X[ej&  
　　tan(A+B)=tan(π-C) aF4oZ3-:  
H>Z Adb  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 8~8L\][qZs  
T $2b9y1  
　　整理可得 7 @~XC/ T  
a mIm'3d)  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 2uzioNKQ  
Azx #> {|e  
　　得证 TAyV$&  
O-g,o9 (  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 s%`W   
MOn(Rdx  
其他非重点三角函数 X>G-yuk -  
-k!x`N  
　　csc(a) = 1/sin(a) ^j4<i",  
H#" |Rdpd  
　　sec(a) = 1/cos(a) FeYSqt  
x(F+deB M  
　　 \Hw?oBN Ez  
ey6+\g6q  
双曲函数 Jw[y(.  
N?[ \Ba  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ^tTRZ3I:(k  
v~y`wj1\c  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 .5Nk|/ey  
Fd578[j9]w  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) A"WNQxx f2  
c=4^/B  
　　公式一： u`& }U'{"_  
DGZ'?es  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： nypP2Z{b6  
f;+1$mGc!T  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 8+h 3])x  
8_^^Go8>  
　　cos（2kπ＋α）= cosα -[F /a  
sR6pR:o  
　　tan（kπ＋α）= tanα s4wOTMZH%V  
r%W\ 0-?  
　　cot（kπ＋α）= cotα )8E+pqV2  
O DtV&"4h  
　　公式二： 6 |oIgr  
La GZ$,aV  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： /)dvo$V  
LF$En5q>  
　　sin（π＋α）= -sinα >S^e-lj:B2  
,PFYZ9  
　　cos（π＋α）= -cosα BtMm(_ nY  
6/, P9C)M+  
　　tan（π＋α）= tanα H7? 4ep5r8  
N,vz742A}  
　　cot（π＋α）= cotα > _y\h  
<F+}%0x  
　　公式三： @BD$!c  
Q ,Ro%<T  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：  % Q+  
@w t'^(5  
　　sin（-α）= -sinα \+zKnlr?f!  
YPe$/C))c9  
　　cos（-α）= cosα .P7Mr+vX u  
9*P_;  
　　tan（-α）= -tanα =q '`&r  
R2J |u8n/  
　　cot（-α）= -cotα efcsm  
.9qQ#yO  
　　公式四： 4t(q[,kib\  
@> KCp8e  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： L@gsPKIy  
d96#c5rT  
　　sin（π-α）= sinα Kk%#7Q^.u  
5XCg]z 40  
　　cos（π-α）= -cosα Q1 &]3"  
dEl 2h a  
　　tan（π-α）= -tanα `$ _c&2yyL  
)m9J `Z Z  
　　cot（π-α）= -cotα 6_eB`  
IJT.Z {U  
　　公式五： 1qu5w`54Q  
CR$f@6Y@ K  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 5Czf#n>  
Q/9mw_J7e  
　　sin（2π-α）= -sinα $|NDf%`[  
m/+4&oM2G  
　　cos（2π-α）= cosα v7Ox{8 u  
E/x_ E@  
　　tan（2π-α）= -tanα }f(h|:@,  
>Wa0E))  
　　cot（2π-α）= -cotα hy;Tr(  
r'qg8Euc7'  
　　公式六： *W:ko]w_  
\q5W2|*a  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 3p HKK_  
k^}DAR>  
　　sin（π/2+α）= cosα 23VZ,FQu  
t,{GVN3  
　　cos（π/2+α）= -sinα 2JjOAunj  
+4Y. jH\q  
　　tan（π/2+α）= -cotα T& o4lhiT  
\3@s5Q 5  
　　cot（π/2+α）= -tanα M|R(Gx}  
"=@oa@]o  
　　sin（π/2-α）= cosα bEV<{KeK  
\p6?8  
　　cos（π/2-α）= sinα U49^+?l[L1  
W Z49hi+  
　　tan（π/2-α）= cotα ~Jr5 K\I  
Jk7_[8z  
　　cot（π/2-α）= tanα xHqbv6l  
X|GklG1  
　　sin（3π/2+α）= -cosα /)} ~v  
[/-u$$^C*  
　　cos（3π/2+α）= sinα  'Xa#Vs  
h]+val  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ~4H!E?DA  
loPqu\Lc5  
　　cot（3π/2+α）= -tanα j/,_5F]h  
/$[4o_7W  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ' kQwjx|  
r6&QPB  
　　cos（3π/2-α）= -sinα Y&=IyE:Q  
r(+at^G  
　　tan（3π/2-α）= cotα @4)ZeI13  
y T{7_RF"  
　　cot（3π/2-α）= tanα vR/A>UcZc}  
B|o8QC~fF  
　　(以上k∈Z) wr5*P5(  
ysp] 8OC1  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 y'&=Noy  
5"$LpS@JJ  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = (#pqd 30&  
hUS#M\Z  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } +lcZ[Iv  
q^I{Iq$roh  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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