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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ];bShA44  
11TRO S(  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. IdU7p  
Mxp-@2%J  
　　1、三角函数本质： va'62f_YVR  
;V'}4Tl"  
　　三角函数的本质来源于定义 oa|oQis}  
'rlA(Mur  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 _taL Ea  
N":Y:#\  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 rGCy;D=>c  
Y[\f0 x  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： j&_ZD ]U  
8h#k~r:z  
　　推导： $_My-B  
\j[#&_&.W  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 fa0#@+5  
Y=6W9\2=4  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 3`Xw)P4  
byN"lq^%u  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) dQ{G%@z  
5 jTT=J-r  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 MAnqmiF  
3J{v #?  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） =USb6HTGY  
V5+[eg  
　　[1] 'gSfL  
'  2p?0H  
　　两角和公式 {c3*z_H  
h o1Ritj  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 5%C7!1 /l  
lE N;z?S 3  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Kq*FhR  
Yx)$ Xw{  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB jl?\]-ay  
uB}sOucV  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB p>J;-|`'  
8C=Q|PX  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) /S*W.9Kh  
D$TU5sck?  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) `WHpf&@vf6  
c*WtAvj4  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  ZdDdPQE 4  
kRz&  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) !A"l~\*y  
fNRn@Nn,iY  
倍角公式 =\q#8zW0(  
e?W]G6e,E  
　　Sin2A=2SinA•CosA 4#MUke  
N\< B |v&  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 1 s <M,TP  
!XmACCGh  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） T6lS=}8Z  
3j=)RxWK  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） _" 9w0R!a(  
(>.zg-7xL  
三倍角公式 Fm141n k@,  
_k.UBZP>  
　　 fL U3$  
PEKf ^,tX  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) +;WK&tK`  
Sr%$^s-  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 3~;.}5  
u)4[G3|  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) &E]&'$S  
mszor>  
三倍角公式推导 !eTnUa4  
\s[ykL  
　　sin3a c$D)y" K  
cIPj > u  
　　=sin(2a+a) %Qxa24  
-R!QGOp4f  
　　=sin2acosa+cos2asina )'`65I3gP}  
[.^W~V#b  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina /__bch]0  
g3 >!`  
　　=3sina-4sin³a o04 g5Sek  
9YK\[ }  
　　cos3a <l3e /=  
~wS{}xe*  
　　=cos(2a+a) ]ECH*oYP  
%;B^XIWw  
　　=cos2acosa-sin2asina Rm2)>3&A  
/"](`jY`s+  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa u]+yg;M^s  
{?fMLW[5  
　　=4cos³a-3cosa LIQ @:7  
hZ%,, T#h_  
　　sin3a=3sina-4sin³a a!&Fukiv_r  
k04)jV^  
　　=4sina(3/4-sin²a) nK-rA/|R  
t}  &]/c  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] Ddr,8 V^n  
p<hJ%7YZ\  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) IM y7YP  
2An O%&h  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) c8kDd)  
U>`\Zras  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 6^FjKNSj  
> +Ht(  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) dBK> :H*  
Bse"Hujm  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ;>pYuCW  
Ap_.@Y`[kP  
　　=4cosa(cos²a-3/4) " } .]@2{  
XSTEMG  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ILIh6  
Gh}a {)  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) <]x)kp6..i  
I%&5YePr  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) )[q@@o  
aLe]yj&  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} F`v*r%Qbe$  
$d,Tf>A"j  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) RHF,|[3  
pz~)/ | 4I  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] iSN|ee#(  
:M7ZU,/t  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] s*jX5hb  
C+;"cJ*2.  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) X= Cq\Jr2  
u!4UqtW  
　　上述两式相比可得 ]KszVqJZ  
vzL}j;I8o  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) j"8W3SPfE  
#&PZR /UA  
半角公式 E 2fW&U  
_7D9RY`  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); |NI"f~y  
}Z>oTkU(  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. L QhFB{gmB  
%Z=[ ^  
和差化积 z^nE1i;u  
}A/ GSdX  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] m{`K9^Ox_  
JEB.+l  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] MGj gI  
Qhn g9?  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] v)5] Um d  
-V'A(cX7Pb  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] #dYpJg~PW  
6c6*ah:  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) !;tI-E9  
g&@``t  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) H{r`I>>{3f  
>1?n_%*Dl  
积化和差 _-SkS968  
g AG{7l{  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] p[]%We`[9  
56A)?Xv7  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] g2-S,  
d{\AIti(  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] L$H DV&Ks  
1 %,Eu}  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] /2}XVoJ  
TxX%3?8  
诱导公式 u}}D_N  
[Ko;/&|ha  
　　sin(-α) = -sinα }GX!|  
2SH(;Q=f  
　　cos(-α) = cosα B1|9*$]&  
$fA~9xr&  
　　sin(π/2-α) = cosα W8)HIQ;K  
twqp9b#  
　　cos(π/2-α) = sinα UPGpJTZg8C  
EB2aos.Lh  
　　sin(π/2+α) = cosα RVe]^*j_R3  
!$Xe+VI5  
　　cos(π/2+α) = -sinα Y_ikCKnDO<  
?l:9X[5  
　　sin(π-α) = sinα gpI f|i  
mt#>Ek-#  
　　cos(π-α) = -cosα k03om!r7  
FjupE ]L  
　　sin(π+α) = -sinα B(\{fk?  
RU\5E#c  
　　cos(π+α) = -cosα ,9tQYTDiF  
P'G}0?!MTD  
　　tanA= sinA/cosA qT` L_G?m  
F;J3Km#${  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα \Hq&e:#8  
59AdA~s  
　　tan（π/2－α）＝cotα ,Jm2XL,  
\9w_is<R  
　　tan（π－α）＝－tanα -;R~ l_   
pUX fgb+Q  
　　tan（π＋α）＝tanα alD]k{G  
d[ }g55S6i  
万能公式 VeQ<Ya  
:<I"P:  
　　 u.em26N  
87DTFsV  
其它公式 kO?K(:h  
 'DcVBh  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 3Mn5};  
\>s={;rp  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 J<& \.X  
b(iuDHM_  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ($t;cfK=  
E! `mTx  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 X\Ijt5)OJ  
.q!QJb_p  
　　对于任意非直角三角形,总有 E6#NWd  
"$VDY# Q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC _ve~$1Ly7  
!&b%Wt/HF~  
　　证: \d<_mWE[$  
z,?wF0  
　　A+B=π-C !mMt#-s*  
2tUGXbQW  
　　tan(A+B)=tan(π-C) Lj ,z<iH}  
.Y7Nxi{  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) X_1 VFm  
tI R^BP T  
　　整理可得 HrHeU~gY,]  
R>SYw&}Y  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC =C2}'^Vn  
ARW`Leu^9!  
　　得证 II|I@GDD8  
8g\T%^  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ^D(`'*!b  
(.^:c ZH-  
其他非重点三角函数 <BC-!pn  
:JI`GyT8  
　　csc(a) = 1/sin(a) wS\>';kzu6  
K\NbmUvL  
　　sec(a) = 1/cos(a)  A]L\Q-[1  
PR&qK G%  
　　 E`M'k}q  
[&^QGr[}l<  
双曲函数 MeBA}&C}  
h 9 fF5V  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 MQ`JU'Hg  
eqzaN   
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 F( `fZC p  
iHY v  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 5nU]=h3  
?#?vB Y  
　　公式一：  >8 2|pE  
|6bOmS yq  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ?:tXYXCOH  
\I,0{| (-  
　　sin（2kπ＋α）= sinα G>_C/bx=  
yJ=HM cf[  
　　cos（2kπ＋α）= cosα h2eR gu3  
Wjh'$i&s  
　　tan（kπ＋α）= tanα A 7B C!L  
ML?VJ  
　　cot（kπ＋α）= cotα D6.2f$=  
UW\bj84l  
　　公式二： m__J#7Zri  
"6Hu#><C>  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： / % ] b1  
NF^8{tJ1!  
　　sin（π＋α）= -sinα fJ}v4s  
W?bgK50  
　　cos（π＋α）= -cosα )Ndw DF]"  
s:8m]~'Qz|  
　　tan（π＋α）= tanα `! X%}e   
Wo):}+|7O  
　　cot（π＋α）= cotα +lmov%5  
's7k5@.   
　　公式三： Z75>+"&  
/irS(\V3  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： GF}1o2PkgH  
7JlvD]}VQ  
　　sin（-α）= -sinα y^LTM TK  
$vB&I4$  
　　cos（-α）= cosα g8H(vX~12s  
sThNQp7*)  
　　tan（-α）= -tanα '_n`6,?3  
??6sN[gdnG  
　　cot（-α）= -cotα 3<!| N!  
aNEEc]gi  
　　公式四： IR?pGAgW  
cl^FK0+  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： H J]qf}  
Wu<SwmK  
　　sin（π-α）= sinα D6}W% Yk  
m#Uy+:C4/c  
　　cos（π-α）= -cosα 0<qcR&+MP  
F?13O@  
　　tan（π-α）= -tanα X+0A1pc  
fE=-M<w[6  
　　cot（π-α）= -cotα /-N$0>RC  
\>>$z  
　　公式五： nn?< ;e  
j, S3c~UX  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 4G g~}  
{N^l*I.  
　　sin（2π-α）= -sinα ~VdX-u\  
n2n?#Bq  
　　cos（2π-α）= cosα Yn2w L?  
D=;-zA  
　　tan（2π-α）= -tanα XdyBX~;m  
JD4kT)h  
　　cot（2π-α）= -cotα E9 yRheM  
C5JR7s1&,  
　　公式六： %1gY" lsqd  
eTeHJG3  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： Y&>  
!jnklFT  
　　sin（π/2+α）= cosα HW-oocQk@  
o bX(NP  
　　cos（π/2+α）= -sinα } m$8e;m  
2Lg9$#p  
　　tan（π/2+α）= -cotα 4a|zA5i;P  
F<5sJqNi  
　　cot（π/2+α）= -tanα F*Lc$Q<uS  
/`Ej@<7  
　　sin（π/2-α）= cosα m*Z:B6E.  
s5>o4  
　　cos（π/2-α）= sinα [%#fg^R{  
j)&PUjBa  
　　tan（π/2-α）= cotα Vz/0"* @  
lM(^+ 0H  
　　cot（π/2-α）= tanα (L08>r<  
F.-8n6l$  
　　sin（3π/2+α）= -cosα pDoizs&!  
uilsK  
　　cos（3π/2+α）= sinα !|D#*Q/e  
hTkI;j  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 0U (Sv&.b  
hs`y`]>.7  
　　cot（3π/2+α）= -tanα w;fa=b<q  
p&: uMa0  
　　sin（3π/2-α）= -cosα BYkX s=  
&xYFj Uj  
　　cos（3π/2-α）= -sinα @H 53)<  
Q.Y*7$s  
　　tan（3π/2-α）= cotα (Dka1s#  
pf~3ft  
　　cot（3π/2-α）= tanα w~ZRnEN  
35MJY   
　　(以上k∈Z) }Qe~]Sl_m  
Tv2=X  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 C*t5gBO  
E&RXh +%V  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = l5ls5bj  
=s9"mV(X  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } G{#E Sz n*  
VmDn~U)3cm  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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